数学の図形問題で避けては通れない「三平方の定理」。「公式は覚えているけれど、応用問題になると手が止まってしまう…」そんなお悩みを持っていませんか？
この記事では、三平方の定理の基本はもちろん、atama＋の学習データから判明した「みんながつまづく応用問題」をピックアップして解説します。
三平方の定理とは
三平方の定理は、直角三角形の3つの辺の長さの関係を示した重要な定理です。紀元前の数学者ピタゴラスにちなんで「ピタゴラスの定理」とも呼ばれます。高校入試はもちろん、高校数学でも頻繁に使われる、図形の基礎となる道具です。
三平方の定理の基本の公式
直角三角形において、直角をはさむ2辺の長さを \(a, b\)、斜辺（直角の向かいにある一番長い辺）の長さを \(c\) とすると、次の関係が成り立ちます。
$$a^2 + b^2 = c^2$$
つまり、「直角をはさむ2辺をそれぞれ2乗して足すと、斜辺の2乗になる」 ということです。
例えば、直角をはさむ2辺が \(3 \mathrm{cm}, 4 \mathrm{cm}\) の直角三角形があるとします。斜辺を \(x \mathrm{cm}\) とすると、
$$3^2 + 4^2 = x^2$$
$$9 + 16 = x^2$$
$$25 = x^2$$
長さは正の数なので、\(x = 5\) と求まります。
このように、直角三角形の2つの辺がわかれば、残りの1辺を計算で求められるのがこの定理の力です。
三平方の定理の基本例題の解き方
公式を確認するために、基本問題（正答率 約80%）を解いてみましょう。
【問題】
三角形 \(\mathrm{ABC}\) において，\(\mathrm{\angle B = 90^\circ, \quad AB = 3, \quad BC = 5}\) であるとき，辺 \(\mathrm{CA}\) の長さを求めよ
【解説】
正解： \(\sqrt{34}\)
直角三角形の2辺の長さがわかっているので、三平方の定理 \(a^2 + b^2 = c^2\) にそのまま代入します。
ここで、直角 \(\angle B\) をはさむ2辺が \(\mathrm{AB}\) と \(\mathrm{BC}\) なので、斜辺は \(\mathrm{CA}\) になります。
長さは必ず正の数になるので、平方根をとって
$$\mathrm{CA} = \sqrt{34}$$
となります。
これが三平方の定理の基本的な使い方です。まずはこの計算を確実にできるようにしましょう。
三平方の定理の差がつく応用問題にチャレンジ
三平方の定理の問題は、他の単元（円や相似など）と絡めた問題が応用問題として出ることがあります。ここでは、atama＋の膨大な学習データの中から、特に多くの中学生が苦戦している問題を紹介します。ぜひ挑戦してみてください！
問題：円と三平方の融合（正答率 約47%）
【問題】
下の図で，四角形 \(\mathrm{ABCD}\) は正方形で，点 \(\mathrm{E}\) は辺 \(\mathrm{BC}\) 上にある。
線分 \(\mathrm{AE}\) を直径とする半円 \(\mathrm{O}\) の弧が，辺 \(\mathrm{CD}\) 上の点 \(\mathrm{F}\) で接しているとする。
\(\mathrm{AB}=8 \ \mathrm{cm}\) のとき，線分 \(\mathrm{AO}\) の長さを求めよ。
【解説】
正解： \(5 \mathrm{cm}\)
正方形と半円が組み合わさった問題です。どこに直角三角形を作り出すかが鍵となります。この問題のポイントは、「円の中心と接点を結ぶ補助線」です。
1. 補助線を引く
円の中心 \(\mathrm{O}\) と接点 \(\mathrm{F}\) を結びます。さらにそのまま \(\mathrm{O}\) 側に直線を伸ばして、辺 \(\mathrm{AB}\) との交点を \(\mathrm{G}\) とします。これで直角三角形 \(\triangle \mathrm{OAG}\) が作れます。
2. 辺の長さを整理する
・求めたい \(\mathrm{AO}\) を \(x \mathrm{cm}\) とおきます。これは半円の半径なので、\(\mathrm{OF}\) も \(x \mathrm{cm}\) です。
・四角形 \(\mathrm{ABCD}\) は正方形で一辺が \(8 \mathrm{cm}\) です。\(\mathrm{G}\) は \(\mathrm{AB}\) の中点になるため（\(\mathrm{O}\) が \(\mathrm{AE}\) の中点なので）、\(\mathrm{AG} = 4 \mathrm{cm}\) です。
・\(\mathrm{GO}\) の長さは、正方形の横の長さから半径を引いたものなので、\(\mathrm{GO} = 8 - x (\mathrm{cm})\) と表せます。
3. 三平方の定理を使う
\(\triangle \mathrm{OAG}\) に三平方の定理を用いると \(\mathrm{AG}^2 + \mathrm{GO}^2 = \mathrm{AO}^2\) が成り立ちます。
$$
4^2 + (8-x)^2 = x^2 \\
16 + (64 - 16x + x^2) = x^2 \\
80 - 16x = 0 \\
16x = 80 \\
x > 0 であるから \\
x = 5
$$
このように、自分で直角三角形を作り出す「補助線の発想」が重要です。今回は円の半径に着目して等式をつくりました。平面図形や空間図形との融合問題としての出題も多く見られるため、様々な問題に触れて慣れておきましょう。
まとめ：三平方の定理のコツ
今回は、三平方の定理について以下のようなポイントをお伝えしました。
1. 三平方の定理 \(a^2 + b^2 = c^2\) を使いこなす
2. 図形の中に「直角三角形」を見つける・作り出す（補助線）
3. 他の単元（円、相似など）との融合問題に慣れる
特に応用問題では、補助線を引くなどして、自分で図形を加工する力が求められます。最初は難しく感じるかもしれませんが、パターン演習を重ねれば必ず解けるようになります。三平方の定理をマスターして、図形問題を得意分野にしましょう！
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