円周角の定理、なんだか難しそう…と感じていませんか？
この記事では、円周角の定理の基本的な考え方から、多くの人が間違えやすい問題まで、atama＋の学習データをもとにわかりやすく解説します。
円周角の定理とは
まずは基本からおさえましょう。
円Oの円周上に2点ABをとるとき、次の図の角度を弧ABに対する中心角、円周角といいます。
弧ABに対する中心角：∠AOB
弧ABに対する円周角：弧ABを除く円周上の点をPとしたときの∠APB
1つの弧に対する円周角には、次の性質があります。
- 1同じ弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の大きさの半分である。
- 同じ弧に対する円周角の大きさはすべて等しい。
特に、弧が半円の場合、その円周角は常に90°になります。半円の弧に対する中心角は180°なので、円周角はその半分の90°になるためです。
円周角の定理の基本問題にチャレンジ！
まずは、基本がしっかり身についているか確認してみましょう。
（正答率 約88%）
下の図において、線分\(\mathrm{BC}\) は円 \(\mathrm{O}\)の直径です。 \(x\)の値を求めなさい。
【問題①の解説】
正解： \( x=36^\circ\)
線分 \( BC \) は円 \( O \) の直径なので、弧 \( BAC \) は半円の弧です。
半円の弧に対する円周角は \( 90^\circ \) なので、\( \angle BAC = 90^\circ \) となります。
三角形 \( ABC \) の内角の和は \( 180^\circ \) なので、
\( x + 54^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
\( x = 180^\circ - 54^\circ - 90^\circ \)
\( x = 36^\circ \)
（正答率 約84%）
下の図において、\(x\)の値を求めなさい。
【問題②の解説】
正解：\( x = 85^\circ \)
同じ弧 \( AD \) に対する円周角は等しいので、\(\angle ABD = \angle ACD = 17^\circ\)
次に，三角形 \( ABE \) に着目します。
三角形の外角は，それに隣り合わない2つの内角の和に等しいので，
\( x = \angle BAE + \angle ABE \)
\( x = 68^\circ + 17^\circ \)
\( x = 85^\circ \)
円周角の定理の逆とは？
「円周角の定理の逆」も、図形問題を解く上で非常に強力なツールです。円周角の定理の逆: 2点C、Dが直線ABについて同じ側にあり、∠ACB = ∠ADB ならば、4点A, B, C, Dは同一円周上にある。
つまり、ある直線に対して同じ側にあり、同じ大きさの角をつくる2点があれば、それら4点はすべて同一円周上にある、ということです。
円周角の定理の逆を使う応用問題にチャレンジ！
ここでは、atama＋の膨大な学習データの中から、特に多くの中学生が苦戦している問題を紹介します。ぜひ挑戦してみてください！
（正答率 約39%）
下のア〜ウの図のうち，4点 \( A, B, C, D \) が同じ円周上にある図形をすべて選びなさい。
【問題③の解説】
正解：イ、ウ
この問題では、「円周角の定理の逆」を使います。選択肢ごとに確認しましょう。
＜アの場合＞
三角形 \( BCD \) の内角の和が \( 180^\circ \) であることから，\(\angle BDC = 180^\circ - (30^\circ + 90^\circ) = 60^\circ\)
\(\angle BAC = 50^\circ\)なので，\( \angle BAC \neq \angle BDC \)
よって，4点 \( A, B, C, D \) は同じ円周上にありません。
＜イの場合＞
三角形 \( ABC \) の内角の和が \( 180^\circ \) であることから，\(\angle DBC = 180^\circ - (90^\circ + 25^\circ) = 65^\circ\)
\(\angle DAC = 65^\circ\)なので，\( \angle DBC = \angle DAC \)
よって，4点 \( A, B, C, D \) は同じ円周上にあります。
＜ウの場合＞
\(\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ\)
これは，線分 \( AC \) を直径とする円において，点 \( B \) と点 \( D \) がその円周上にあることを示しています。
よって，4点 \( A, B, C, D \) は同じ円周上にあります。
まとめ
一見複雑に見える図形問題も、以下のような「円周角の定理」「円周角の定理の逆」の基本的な内容を組み合わせることで解くことができます。
- 同じ弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の大きさの半分である
- 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい
- 円周角の定理の逆：2点C、Dが直線ABについて同じ側にあり、∠ACB = ∠ADB ならば、4点A, B, C, Dは同一円周上にある
これらのポイントをしっかりおさえて、たくさんの問題に挑戦してみてください。最初は難しく感じるかもしれませんが、パターン演習を重ねれば必ず解けるようになります。円周角の定理をマスターして、図形問題を得意分野にしましょう！
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